Da quassù la Terra è bellissima, senza frontiere né confini.
E soprattutto... è rotonda.
Queste parole di Yuri Gagarin, pronunciate il 12 aprile 1961, durante il primo volo umano nello spazio, mettono fine ad una speculazione intellettuale durata duemila e trecento anni (pour ainsi dire).
Dove inizia questa storia? Ah si, in Egitto nel III secolo avanti Cristo.
Il Faraone Tolomeo III Evergete è nella propria reggia ad Alessandria e sta colloquiando con Eratostene da Cirene.
Astronomo, matematico, geografo greco, allora bibliotecario capo della Grande Biblioteca di Alessandria (245-204 a.C.), Eratostene sta mostrando al re una grandiosa mappa disegnata su un foglio di papiro: l'ecumène (ecumène s. f. [dal lat.oecumĕne, gr.οἰκουμένη(γῆ) «(terra) abitata»]) del tempo.
Evergete si avvicina alla mappa "E il resto? Il resto del mondo, è tanto o poco rispetto a quello che conosciamo?"
"Per risponderti in modo preciso dovrei sapere quanto è grande la Terra".
Misurare il mondo!
Da buon pitagorico Eratostene era convinto della sfericità della Terra, un po' meno della sua mobilità e del fatto che non fosse al centro del mondo, così come invece sostenuto da Aristarco.
Non siamo a conoscenza di quanto tempo impiegò Eratostene per dare la risposta al Faraone, ma sappiamo che trovò un modo matematico estremamente originale, semplice nel ragionamento (tanto che è possibile e auspicabile che venga riproposto agli allievi di III Secondaria Inferiore), arduo nella sua messa in pratica per quei tempi.
Eratostene, considerando la Terra sferica, immaginò due punti posti su una circonferenza: misurando la parte di circonferenza compresa tra i due punti e conoscendo quale proporzione di questa ultima essa rappresenta, avrebbe potuto dedurre la lunghezza della circonferenza stessa.
Per determinare questa proporzione è però necessario conoscere l'ampiezza dell'angolo al centro compreso fra due raggi condotti ai due punti della circonferenza: angolo al centro e arco intercettato sulla circonferenza sono proporzionali.
Una semplice proporzione ci consente allora di conoscere la lunghezza della circonferenza:
ampiezza angolo al centro : lunghezza dell'arco = ampiezza angolo giro (360°) : lunghezza della circonferenza
La misura dell'ampiezza dell'angolo al centro, chiave di volta del ragionamento, e quindi il calcolo della circonferenza terrestre, è il risultato della brillante mente di Eratostene.
Questa straordinaria avventura del pensiero umano è descritta nel suggestivo romanzo La chioma di Berenice di Denis Guedj (Longanesi & C), del quale pubblichiamo alcuni passi.
"Dopo aver studiato a lungo le opere dei miei predecessori mi sono convinto che il metodo giusto consiste nel servirsi del Sole e non delle Stelle: effettuerò le mie misurazioni della latitudine a mezzogiorno in punto grazie all'ombra degli gnomoni. Il Sole è così lontano che possiamo considerare paralleli i suoi raggi. Lo stesso giorno, a mezzogiorno, misurerò l'ombra dei due gnomoni".
Eratostene sapeva che il corso del Nilo si volgeva da sud a nord, quasi seguendo il meridiano: scelse allora le città di Alessandria e Syene (odierna Assuan) come termini di questo arco di meridiano.
Aveva inoltre verificato che il 21 giugno, a mezzogiorno, i raggi del Sole si proiettavano sul fondo dei pozzi a Syene, attestando che il Sole fosse allo zenith del luogo; nello stesso giorno, sempre a mezzogiorno, ad Alessandria, situata più a nord ma sullo stesso meridiano, uno gnomone piantato nel terreno verticalmente generava invece un'ombra.
"Eratostene: ora, secondo i principi stabiliti da Euclide nei suoi Elementi, due rette parallele formano con qualunque trasversale angoli alterni interni uguali".
Conoscendo la lunghezza dell'ombra e l'altezza dello gnomone Eratostene era quindi in grado dividendo le due misure di dedurne l'ampiezza dell'angolo di incidenza dei raggi solari.
Era però necessario conoscere la reale distanza tra Alessandria e Syene: l'idea del matematico reale fu quella di utilizzare un bematista: contatori di passi professionali, allenati per procedere a passi uniformi, che durante le guerre precedevano le armate stabilendo la lunghezza delle tappe giornaliere.
Ad Alessandria il rapporto fra l'ombra e lo gnomone è di 1/8 (e quindi l'ampiezza dell'angolo è pari a 7°12'). Grazie all'utilizzo del pozzo di Syene, quest'unica misura dà il valore dell'angolo fra Alessandria e Syene: 1/50 della circonferenza della Terra.
Secondo la misurazione effettuata da Beton (il bematista) lungo il Nilo e le rettifiche che io vi ho apportato, la distanza fra queste due città poste sullo stesso meridiano è di 5 000 stadi. Ne deriva che la cinquantesima parte della circonferenza terrestre misura 5 000 stadi.
Di conseguenza, la circonferenza della Terra è di 250 000 stadi.
Eratostene di Cirene, direttore della Grande biblioteca di Alessandria.
La conversione di questo numero oggi vale 39 600 km.
La circonferenza media dellaTerra, misurata con metodi moderni, è di 40 041 km!
Il metodo di Eratostene riproposto in classe con l'ausilio delle tecnologie digitali:
Duemila anni dopo, la conoscenza scientifica relativa alla forma e alle dimensioni della Terra confermava ancora quanto "scoperto e misurato" da Eratostene.
La Terra fino al 1700 circa era considerata perfettamente sferica. Fu l'abate Picard, in seguito ad alcune sue misurazioni, effettuate nel 1671, ad avanzare per primo l’idea che la Terra non fosse perfettamente sferica. Misurò il tratto di meridiano passante per l’Osservatorio di Parigi, da Parigi ad Amiens, costruendo una catena di tredici triangoli, partendo da una base misurata a terra e misurando gli angoli a partire da punti visibili gli uni dagli altri (torri, campanili, ...). Dopo aver calcolato la lunghezza totale di un arco di meridiano bastava poi calcolare la latitudine dei due punti alle estremità per sapere di che frazione di meridiano (circonferenza polare) si trattava, per risalire poi alla lunghezza totale del meridiano. La lunghezza di un grado di meridiano a latitudine 49,5° nord calcolata da Picard fu di 57060 tese (111,210 km). La lunghezza standard era stata definita confrontando la tesa francese pari a 6 piedi parigini (1,949 m) con la lunghezza di un pendolo semplice battente i secondi di 440,5 linee (144 linea a piede). Nel 1671 Picard comunicava i risultati della sua rilevazione nel libro “Mesure de la Terre”. Determinò così il meridiano con una precisione mai raggiunta prima: 40033 km. (http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/storia%20della%20misurazione%20del%20grado.pdf)
Poi irruppe nel mondo Isaac Newton!
L' "ultimo dei maghi" era convinto, e ne aveva poi scritto nella terza parte dei Principia (1687), che la Terra fosse un globo schiacciato ai Poli e panciuto all'Equatore.
Ne nacque una disputa con gli astronomi reali francesi, appartenenti alla famiglia Cassini, che avevano elaborato, a seguito di diverse misure del meridiano effettuate a sud e a nord di Parigi, una teoria diversa in materia: "L'uomo occupa un globo che s'allunga in direzione del diametro polare. Il mondo è uno sferoide che s'allunga ai Poli e si restringe all'Equatore".
Il mondo scientifico si trovò ben presto suddiviso in newtoniani "appiattitori" e cassiniani "oblungatori".
Voltaire dopo un viaggio a Londra tornò in Francia dichiarando di essere un newtoniano convinto.
Verso la fine del Seicento, l'Académie de Sciences investì tempo e denaro nel tentativo di dirimere la questione determinando la lunghezza dell'arco sotteso ad 1 grado di latitudine. Giovanni Domenico Cassini, volendo una prova sperimentale della sua ipotesi, nel 1672 spedì Jean Richer nella Caienna (Guiana Francese), con uno degli orologi a pendolo costruiti dall'olandese Christiaan Huygens.
Il periodo di oscillazione del pendolo semplice è dato dalla formula:
L=lunghezza del pendolo g=accelerazione di gravità
Arrivato alla Caienna, Richer assemblò il pendolo e lo mise in moto: con grande sorpresa trovò che il periodo si dilatava (il battito era più lento).
Evidentemente g risultava essere minore e quindi il rapporto aumentava. Volendo avere il tempo esatto, il pendolo dell'orologio fissato a Parigi a latitudine di 49° andava ridotto in lunghezza all'Equatore.
Newton balzò immediatamente sulla scoperta, perché essa confermava la sua ipotesi: l'ingrossamento della Terra nella regione equatoriale fa diminuire la forza di attrazione della gravità.
Cassini definì il collega "hypocrite e papelard".
La controversia sulla forma della Terra continuò ad imperversare per oltre 50 anni: in gioco non c'era più solo un problema fisico, ma reputazioni, carriere, prestigio di sovrani e nazioni.
Parigi, dicembre 1734: "Laonde, signori, per grazioso consenso del nostro sovrano, re Luigi XV di Francia (che Iddio lo preservi), e per generosa licenza di re Filippo V di Spagna, l'Académie invia due spedizioni ad accertare quale sia la vera forma della Terra, una in Lapponia, l'altra all'Equatore. L'Académie si fa partecipe di un problema che assilla la mente umana fin dai tempi più antichi..."
Il matematico Pierre Louis Moreau de Maupertuis fu incaricato del comando della spedizione in Lapponia, mentre la spedizione all'Equatore fu affidata a Charles Marie de La Condamine, affiancato da M. Godin e M. Bouguer.
Nella prefazione al resoconto del suo viaggio Journal du voyage fait pour ordre du roi, a l'equateur, servant d'introduction historique a la mesure des trois premiers degres du meridien, pubblicato al suo rientro, La Condamine scrisse: "...pour l'observation de divers genres, & fur-tout celles qu'on jugeoit le plus propres à determiner la Figure de la Terre."
La Condamine si imbarcò il 16 maggio 1735 alla Rochelle, insieme ad astronomi, matematici e botanici (in questo anno Linneo pubblicò il suo Systema Naturae) e nel novembre dello stesso anno giunse a Cartagena de Las Indias. Da qui proseguì verso Puerto Bello, sull'istmo di Panama; una volta sbarcati, uomini, strumenti e materiali viaggiarono per 6 ore a dorso dei muli per raggiungere l'altra sponda dell'istmo, ossia Panama. Imbarcati nuovamente sul San Cristobal, ripartirono il 22 febbraio del 1736 e il 9 marzo giunsero a Bahia de Manta, a metà strada tra l'equatore e Guayaquil.
A questo punto la spedizione si divise: la maggior parte degli scienziati e i due ufficiali della Marina spagnola, don Jorge Juan e don Antonio de Ulloa, che si erano aggregati alla spedizione, continuò la navigazione a sud verso Guayaquil e da qui, proseguendo sulla vecchia strada montana, verso Quito, città posta sotto la giurisdizione del vicereame del Perù; La Condamine, dapprima con Bouguer e dopo che questi, febbricitante, con gli strumenti più pesanti decise di riunirsi agli altri, unitosi con il geografo Pedro Vicente Maldonado, risalì il fiume Esmeraldas fino a raggiungere Porto de Quito. Attraversarono la Cordigliera raggiungendo i 4 000 m di altezza e da qui proseguirono fino a raggiungere la piana di Quito.
Era il 4 giugno 1736: era trascorso più di un anno dalla partenza dalla Francia.
Gli scienziati si misero subito al lavoro per individuare una piana dove poter tracciare la base per tutte le future triangolazioni: fu scelto un altopiano a 2500 m di altezza a qualche chilometro da Quito: la piana di Cayambé e Yarouqui, posta tra due catene montuose parallele qui sont partie de la Cordeliére des Andes (caratterizzata da decine di vulcani con altezze sopra i 4 000 m, quali il Cotopaxi, il Tongouragua, il Sangai oltre al Chimborazo, Pichincha e Coracon).
Due squadre misurarono la base con verso opposto per avere maggiore certezza della misura; questo lavoro iniziò il 3 ottobre e terminò il 3 novembre: la lunghezza della base geodetica risultò valere 6272 toises (tesa: sbarra di ferro lunga circa 1.9 m).
Venne poi misurata più volte l'ampiezza dell'angolo compreso fra la estremità opposte della base e il Sole nascente e al crepuscolo, per conoscere l'esatta direzione della base rispetto "aux régions du monde".
Questa attività presuppose la taratura fine dei quadranti (quart de cercle o ottante di Hadley) astronomici, strumenti indispensabili per le misure geodetiche successive e per le osservazioni astronomiche (quali il solstizio d'inverno prossimo).
Intanto si verificarono incomprensioni con il Consiglio di Quito, sospettosi del lavoro degli Accademici e, ben più importante, gravi problemi di finanziamento della spedizione stessa a causa delle difficoltà di esigere fondi tramite le lettere di credito in possesso di La Condamine.
Si decise così che La Condamine si recasse a Lima (400 leghe da Quito) per risolvere le questioni aperte, cosa che effettivamente fece, ma che lo impegnò per 6 mesi: il 20 giugno si ricongiunse con il resto della spedizione a Quito, in tempo per "la première observation du Solstice".
A questo punto si apprestarono alla fase successiva che consisteva nel condurre una catena di triangoli dalle due estremità della base (lunga cinque miglia) a nord oltre la città di Ibarra e a sud in direzione di Cuenca: la triangolazione avrebbe coperto una superficie di oltre tre gradi di latitudine per una distanza di duecento miglia.
Il lavoro di triangolazione durò due anni, dall'agosto 1737 all'agosto 1739 e terminò a Tarqui: non restava quasi parte delle Ande ecuadoriane che non avessero traversato, misurato, disegnato, cartografato.
Per determinare la lunghezza del meridiano La Condamine fece uso di un valore medio delle misure effettuate tra le due basi geodetiche, distanti tra loro soixante-quinze lieves (praticamente 337 km) et contenent trente-deux triangles.
Non rimaneva che effettuare le misure astronomiche: celle-ci consistoit à déterminer quelle portion de la circonférence de la Terre, répondoit à al longueur de l'arc du méridien que nous venions de mesurer, il che significava individuare l'angolo, misurato in gradi, minuti e secondi, della lunghezza espressa in leghe.
Bisognava quindi osservare l'altezza di una stessa stella da entrambe le estremità della porzione di meridiano misurato.
A questo punto giunse una lettera del segretario dell'Académie che informò del successo della spedizione di Maupertuis (con Clairault, Camus e lo scienziato svedese Celsius) inviata in Lapponia: la misurazione dell'arco al Circolo Polare aveva confermato che la Terra era schiacciata ai Poli!
In Francia i cassiniani non si arresero all'evidenza, mentre in sud America molti Accademici ritennero esaurito il loro compito. Ci volle tutta la autorevolezza di La Condamine, con un grande discorso sul valore della ricerca scientifica, per convincere i colleghi a terminare la missione.
Intanto gravi problemi assillavano la spedizione in Ecuador: l'omicidio, da parte di una folla inferocita, del medico M. Seniergues, reo di avere offeso un hidalgo locale di Cuenca e incomprensioni con gli Spagnoli che si ritennero offesi perché La Condomine aveva deciso di costruire, alle estremità della base geodetica Ayambara-Caraburo, due piramidi demarcatori di natura permanente; le piramidi riportavano solo i nomi degli Accademici francesi e soprattutto i loro vertici erano adornati da enormi fiordiligi, stemma dei re francesi; questo fatto comportò una denuncia e un processo che perdurarono in pratica per due anni, compromettendo i tempi di realizzo dell'impresa scientifica.
Nel frattempo l'Inghilterra entrò in guerra con la Spagna per ribadire il proprio ruolo nei commerci con il Nuovo Mondo.
Finalmente nel gennaio del 1742 La Condamine scrisse a Bouguer che si rendeva necessario "répéter les observations aux deux extrémités de l'arc et en même temps", per ricomporre quella differenza di 9 secondi registrata tra le ultime osservazioni eseguite e quelle di Quito del 1736/37 e aggiunse nella lettera che "si la méme chose arrivoit à M. Godin, quant à la valeur du degré, n'étoit-ce pas nous exposer a rapporter en France trois déterminations différentes".
Nel maggio dello steso anno gli Accademici furono invitati a Quito alla discussione di una tesi di Teologia dedicata all'Académie des Sciences de Paris: l'autore era il gesuita Pietro Milanezio di Torino e il Presidente relatore Francesco Sanna, celebre predicatore nativo della Sardegna!
Il 4 settembre La Condamine e Godin lasciarono definitivamente Quito (nel frattempo aveva scalato il Pichincha, assistito ad una eruzione del Chimborazo ed effettuato decine di esperimenti scientifici con termometri Reamur e pendoli) per trasferirsi a Cuenca, mentre Bouguer era partito per il nord qualche settimana prima, in direzione Cochasqui.
I due astronomi dovranno attendere il cielo di gennaio e febbraio 1743 per avere condizioni meteorologiche favorevoli all'osservazione.
Così La Condamine: "Sa (Bouguer) lettre étoit du 31 Janvier: il avoit vu l'étoile e d'Orion plusieurs de mêmes nuits du mois de December où je l'avois aussi observée".
L'arco (riferito a 3 gradi) era stato finalmente misurato!
Il risultato matematico della spedizione fu pubblicato nel 1751 da La Condamine nel testo "Mesure des trois premiers degres du méridien dans l’Hemisphere austral", 1751 BNF Gallica.
La Condamine attesta che l'ampiezza dell'angolo all'Equatore (somma delle due letture eseguite contemporaneamente ai capi opposti della triangolazione) è di 3° 7' 1".
Dividendo la lunghezza dell'arco pari a 176 950 toises, si ricava che l'arco di meridiano all'Equatore vale 56 775,42 toises che moltiplicato per 1,949 m da come risultato 110,655 km (oggi 110,560 km).
Maupertuis misurò la lunghezza dell'arco di meridiano al Polo pari a circa 700 toises in più, ricavandone un valore pari a 112,019 km (oggi 111,682 km)
"Il n'est donc plus permis de douter que le degré du Méridien ne soit plus petit prés l'Equateur que vers le Pole, et de-là il s'enfuit nécessairement, que la Terre est aplatie vers le Poles, et rehaussée sous l'Equateur". La Condamine
Quito, maggio 1985 sopra: linea dell'Equatore, "old" monumento a La Condamine; sotto : Quito e la Cordigliera andina, plaza Mayor chiesa di San Francesco con l'iscrizione degli Accademici
Mitad del mundo: Monumento Equatorial
Pierre Bouguer prese la via andina da Quito a Santa Fé de Bogotà e da qui giunse a Cartagena, imbarcandosi alla volta della Francia.
La Condamine, con il compagno Maldonado, decise invece di ridiscendere il Rio delle Amazzoni: Jeanne Godin abbracciò l'amico e gli augurò buona fortuna.
Il viaggio durò 4 mesi e terminò nel Parà brasiliano; da qui mossero verso Caienna e poi nella Guyana olandese.
Per la prima volta venne tracciato in forma scientifica il corso del Rio delle Amazzoni.
S'imbarcarono verso l'Olanda e nella primavera del 1745 giunsero a Parigi.
Dieci anni dopo la spedizione degli Accademici poteva considerarsi conclusa.
Da notare che anche don Jorge Juan pubblicò al proprio rientro le "Noticias secretas de America sobre el estado naval, militar y politico de los Reynosa del Perù y provincias de Quito"; nel testo, tra l'altro, si faceva riferimento ai corregidores locali e ai loro brutali e oppressivi metodi di sfruttamento degli indigeni: lavoro forzato, tasse coatte, orario lavorativo intollerabile, prezzi esosi.
Il Consiglio delle Indie in Spagna, avvertito, non prestò orecchio alla denuncia e in questo modo non riuscì a scongiurare l'inevitabile rivolta degli Indios che si verificò, a cinquant'anni dalle Noticias secretas, sotto la guida di Topac Amaru.
La figura matematica che più si avvicina alla forma della Terra non è quindi una sfera ma un ellissoide di rotazione.
Nel 1799 Pierre Simon Laplace (1749-1827) dimostrò nel “Traitè de mécanique célèste” che l’ellissoide non corrisponde esattamente alla forma reale della terra, che ha invece una forma irregolare. Tale scoperta fu sviluppata in seguito definendo una superficie di riferimento costituita dalla superficie libera dei mari e dal suo prolungamento ideale sotto i continenti. Nel 1849 George Gabriel Stokes (1819-1903) dimostrò la possibilità di determinare la forma di tale superficie a partire da sole misurazioni di gravità. Essa fu chiamata geoide nel 1873 da Johann Benedict Listing (1808-1882) e da allora l’ellissoide di rotazione che meglio vi si adatta per parametri dimensionali e per orientamento fu considerata solo una superficie di riferimento. (http://matematica.unibocconi.it/sites/default/files/storia%20della%20misurazione%20del%20grado.pdf)
Bibliografia
Carl Boyer Storia della matematica, 1968 Mondadori
Charles Marie de La Condamine Journal du voyage fait pour ordre du roi, a l'equateur, servant d'introduction historique a la mesure des trois premiers degres du méridien, 1751 BNF Gallica
Charles Marie de La Condamine Mesure des trois premiers degres du méridien dans l’Hemisphere austral, 1751 BNF Gallica
don Jorge Juan Noticias secretas de America sobre el estado naval, militar y politico de los Reynosa del Perù y provincias de Quito ed. Inglese 1826 Biblioteca virtual Andalucía
Victor Von Hagen Scienziati esploratori alla scoperta del Sudamerica 1981 Rizzoli
Denis Guedj La chioma di Berenice 2003 Longanesi
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