• Claudio Carabelli

Dal mattang ai ponti di Konigsberg

La scienza dei popoli antichi era diversa da quella attuale, esplorava con acuta sensibilità, ma in modo pratico ed intuitivo, i fenomeni che erano legati alle necessità quotidiane degli uomini: è una vera e propria scienza del concreto.

Con essa i nostri antenati avevano raggiunto una conoscenza del mondo dotata di una propria organica coerenza.

A partire dal ‘500 a. C. i Polinesiani delle isole Figi, per esempio, iniziarono una serie di viaggi spettacolari che li condussero a colonizzare, un poco alla volta, tutte le isole del Pacifico.

Aumento della popolazione e scarsità di risorse alimentari, furono probabilmente la causa all'origine di queste migrazioni.

Non deve essere stato facile mettere la prua delle loro piccole imbarcazioni "per l'alto mare aperto", alla ricerca di isole ridottissime e sparse per migliaia di miglia nell'oceano Pacifico.

Le Isole Marshall, per esempio, sono un arcipelago di 29 atolli, piatti, invisibili dal mare: come facevano i Polinesiani a individuare gli atolli corallini e rientrare alla "base"?

Nei loro viaggi di esplorazione i Polinesiani erano in grado di presagire la presenza di un'isola da minimi indizi che testimoniano un esempio di ciò che è stato definito scienza del concreto:

a) odori dei fiori: per questo sfruttavano l'olfatto straordinario dei maiali imbarcati che, una volta percepiti, li rendevano inquieti

b) osservazione dei grandi uccelli marini, tipo gli albatros, che non si allontanano in genere più di 40 miglia dalla costa

c) presenza di nuvole, che stazionano più facilmente sugli atolli che non sul mare aperto (la laguna di un atollo ha acque più calde di quelle del mare)

d) l'osservazione delle correnti e delle onde; quando si genera un'onda e questa incontra un ostacolo, la stessa viene riflessa: se questo ostacolo è di grande dimensioni, come per esempio un'isola, dietro di esso si genera una zona d'ombra con acque non turbate dalle onde. Inoltre se gli ostacoli sono più di uno, le onde riflesse creano increspature incrociate sulla superficie del mare.

E' proprio osservando queste leggere modificazioni della superficie che i Polinesiani riuscivano ad dedurre la presenza di un'isola sconosciuta prima ancora di scorgerla sul mare.


Per ricordare e condividere la posizione delle isole venivano allora costruiti i mattang.

Il mattang è un oggetto costruito con le costole delle palme, ottenendone un traliccio: ogni stecca rappresentava le correnti principali e i venti.

Quindi sul traliccio venivano inserite altre costole disposte a V che indicavano le zone d'ombra delle correnti; infine al traliccio venivano legate conchiglie o pezzi di corallo per posizionare le isole.

Il mattang era a tutti gli effetti una vera e propria carta nautica, modificata e migliorata ad ogni viaggio.


Immagini di mattang tratte da Wikipedia


Dalla Polinesia spostiamoci ora in Europa.

Cosa hanno a che vedere i mattang con la matematica?

Sono possibili due risposte.

La prima relazione potrebbe far sorridere i "rudi matematici", io la ritengo una argomentazione ardita, che stravolgerà i neuroni di qualcuno, ma la propongo ugualmente: si tratta di correlare queste atipiche carte nautiche alla teoria dei grafi.

La seconda risposta ci rimanda nientemeno a Poincaré e alla teoria del caos.


I mattang sopra descritti rappresentano una rete nella quale le conchiglie isole rappresentano dei nodi, mentre i tralicci che identificano le correnti e le zone d'ombra sono segmenti o archi: da un'isola, percorrendo le correnti giuste, si può raggiungere altre isole o tornare alla base.

Ebbene questa rappresentazione dello spazio oceano ha una struttura simile ad un grafo.

Un grafo è una struttura matematica costituita da elementi detti nodi o vertici, collegati tra loro da linee chiamate archi o spigoli.


I ponti di Konigsberg

Si narra che gli abitanti di Konigsberg (oggi Kaliningrad, Federazione Russa), cittadina della Prussia orientale, divenuta famosa perché vi nacque Immanuel Kant, avessero un problema da affrontare quotidianamente.

La cittadina, situata sul fiume Pregele, comprendeva due isole: un ponte li collegava entrambe; inoltre l'isola più vasta era collegata ad ogni riva con un altro ponte, mentre la più ridotta, ma densamente popolata, si collegava ad ogni riva con due ponti: in totale quindi a Konigsberg erano presenti sette ponti.

Il problema è questo: è possibile trovare un tragitto che, partendo da una qualunque zona della città, consenta di attraversare ciascun ponte una ed una sola volta e tornare al punto di partenza?




Nel 1736 fu il celebre matematico e fisico svizzero Leonhard Euler, a trovare per primo la soluzione a tale quesito e dimostrò, ricorrendo alla teoria dei grafi, che la passeggiata ipotizzata non era possibile.


Eulero affrontò il problema associando alla piantina della città un grafo (vedi sopra) e identificando ogni zona con un punto (nodo o vertice) e ogni ponte con un arco o segmento.

In questa schematizzazione il numero di archi o segmenti che escono da un nodo viene definito grado o ordine del nodo.

Eulero arrivò a formulare delle leggi per risolvere tale tipo di problema: un grafo composto solo da nodi pari, cioè ciascuno collegato con un numero pari di archi o segmenti, è sempre percorribile e si può sempre tornare al punto di partenza.

Un tale grafo è detto euleriano e il cammino è chiamato circuito euleriano.

Se un grafo contiene nodi pari e soltanto due nodi dispari è ancora percorribile, partendo da uno dei nodi dispari per arrivare all'altro, ma non si può più ritornare al punto di partenza. Un tale grafo non è euleriano e il cammino viene chiamato cammino euleriano. Se contiene invece più di due nodi dispari, non è percorribile senza sovrapposizioni di percorso.

Analizzando la situazione a Konigsberg si nota che dai nodi C, B e D partono (e arrivano) tre ponti; dal nodo A, invece, cinque ponti.

Questi sono i gradi dei nodi: rispettivamente, 3, 3, 3, 5.

Esso presenta ben quattro nodi di ordine dispari, pertanto non risulta percorribile senza sovrapposizioni.


La teoria dei grafi ha avuto nei secoli successivi una applicazione in svariati campi:

https://it.scribd.com/presentation/212358384/Sette-Ponti-Di-Konisberg-Per-Corso-Zanichelli


Più convincente la relazione fra il mattang e la teoria del caos

Canoe a bilanciere delle isole Marshall


Il contenuto di uno stick chart, quale è un mattang, viene visto da una nuova prospettiva se si confrontano i meccanismi fisici responsabili di come rendere visibili atomi e atolli.

La diffrazione del moto ondoso dovuta a isole o atolli può essere illustrata oggi dalla fisica analogica come la diffrazione di neutroni dovuta a particelle (Paul Scherrer Institut 2009).

Entrambi i meccanismi rendono visibili gli atolli e gli atomi invisibili.

Utilizzando il metodo sperimentale della diffrazione neutronica è possibile rendere visibili gli atomi, ad esempio nella ricerca sui materiali.

Un neutrone può anche comportarsi come un'onda.

L'interazione dei neutroni con gli atomi è analoga all'interazione delle onde del moto ondoso con gli atolli delle Isole Marshall.

A causa di tali interazioni sorgono schemi di interferenza.

Dai modelli di interferenza dei neutroni si possono trarre conclusioni sulla struttura e sul movimento degli atomi.

Analogamente alla diffrazione di neutroni, gli abitanti delle Isole Marshall potrebbero trovare la posizione di un atollo invisibile seguendo i nodi (okar) delle sovrapposizioni del moto ondoso, osservandoli a bordo delle loro canoe a bilanciere.

Fu Henri Poincaré, in un articolo pubblicato su Acta Mathematica nel 1890, ad affrontare con un approccio geometrico una situazione teorica simile.

Se si cerca di visualizzare lo schema formato da queste due curve e il loro numero infinito di intersezioni (...), queste intersezioni formano una specie di reticolo, un intreccio, una rete di maglie infinitamente sottili.

Fu chiaro a Poincaré di aver scoperto un aspetto fondamentalmente nuovo del movimento dinamico.

Questa fu la scoperta originale di quella che oggi è nota come sensibilità alle condizioni iniziali, che è al centro della teoria del caos.

Alcune immagini scattate dai satelliti dimostrano l'evidenza della teoria.



(https://www.dhyg.de/images/fachbeitraege/DOI_10.23784_HN100_12.pdf)


Ps: questo pragmatismo dei Polinesiani si mescolava a leggende per spiegare alcuni fenomeni, quali ad esempio le maree. Ricorsero quindi al mito per dare un senso ad un fenomeno con il quale erano ogni momento a contatto.

il tema "Dal mito alla scienza del concreto" può trovare la propria collocazione didattica ad inizio anno nel corso di Scienze della Scuola Secondaria di I grado.





Bibliografia


L'uomo dalla natura alla scienza, 1993 Giulio Mezzetti La Nuova Italia


La matematica dei social network. Una introduzione alla teoria dei grafi, 2012 Peter M. Higgins Dedalo edizioni


Sitografia nel testo








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