• Claudio Carabelli

De nive sexangula

Un mattino, ci si sveglia. E' il momento di ritirarsi dal mondo, per meglio sbalordirsene.

Un mattino, si prende il tempo per guardarsi vivere.

Neve, Maxence Fermine


Praga

Ponte Carlo, sera del 31 dicembre 1611


Johannes, ormai quarantenne, camminava con passo ancora deciso sul ponte Carlo, con lievi pensieri nella testa e tanti, tantissimi, impalpabili fiocchi di neve che si appoggiavano sul suo nero mantello.



Pensava alla strenna che entro pochi minuti avrebbe donato, come augurio per il nuovo anno, al suo mecenate: il consigliere imperiale Matthaeum Wackherium.

Camminava in questo sera ovattata e sorrideva tra sé, pregustando lo stupore che si sarebbe diffuso sul viso del consigliere nel ricevere la Strena seu de nive sexangula che aveva appena terminato.



Wackherium era un seguace convinto di Giordano Bruno, della teoria atomista sostenuta dal filosofo nolano, pertanto Johannes Kepler, con buona dose di ironia, pensava di potergli donare, come augurio per il nuovo anno, un piccolo racconto sul "nulla".


Scrive Kepler:

Il regalo ti sarà più gradito, quanto più si avvicinerà al nulla.

Potrei regalarti gli atomi di Epicuro, oppure gli elementi: un granello di sabbia, di polvere, una scintilla, venti o fumi oppure una goccia.

Ma sarebbe comunque sempre qualcosa di una certa grandezza.

Forse questo semplice fiocco di neve che si sta depositando sul mio mantello, dotato di forma, potrebbe essere il dono da nulla che apprezzeresti.


Continua Kepler:

... se tutti questi fiocchi esagonali, vapore condensato dal freddo, si conserveranno ancora arrivando da te, prima che il calore del mio corpo li faccia sciogliere in nulla, allora credo che tu potrai apprezzare questo regalo da nulla. E se sei saggio, trattieni il respiro, per non ricevere un... nulla.


Altri autori hanno osservato e descritto i fiocchi di neve prima del Seicento.

I Cinesi, già qualche secolo prima di Cristo, avevano osservato che mentre "i fiori di piante e alberi" presentavano una simmetria a cinque punte, il fiocco di neve presentava sei punte.

Ma la prima immagine dei fiocchi, riportata a stampa, la si trova nell'opera Historia de gentibus septentrionalibus (Roma,1555) di Olaus Magnus.




Sulla destra dell'immagine viene riportata una figura della neve esagonale (stella a sei punte), ma Magnus non si rende conto della regolarità di questa forma relativa ai cristalli di neve.


L'intento di Kepler, nel De nive sexangula, non è però quello di descrivere la forma del cristalli di neve, bensì di comprendere perché, se non è opera del caso, si presentano sempre con queste sei punte.


"La causa non può essere nella materia, perché la neve è vapore raffreddato e quindi non ha forma propria, ma sempre mutevole. La causa è quindi nell'agente.

Ma che tipo di agente e come agisce? Per forma innata o per causa efficiente che agisce dal di fuori? Per necessità della materia o perché la forma naturale esagonale è la più bella e quindi la natura conduce a tale forma?


A questo punto Kepler cerca la risposta nella natura ed espone alcuni esempi.


Gli alveoli (celle) delle api hanno una struttura esagonale, ma ognuno di questi alveoli, sul fondo, si compatta in tre piani a forma geometrica di rombo e quindi ogni singolo alveolo è circondato da altri nove alveoli; poiché anche la chiusura dell'alveolo è simile al fondo si ha una forma rombododecaedrica.

E' possibile che un corpo quasi regolare, come i cinque corpi regolari e i quattordici corpi archimedei, sia costituito da questi romboidi? Ciò si rinviene in due casi: con un corpo simile al cubo e all'ottaedro e un altro simile al dodecaedro e all'icosaedro: ma solo il primo riempie tutti i punti di un luogo, non lasciando alcun vuoto residuo, proprio come avviene nel caso degli alveoli romboidali delle api.

Consideriamo ora gli acini di una melagrana e la forma che assume la polpa nella quale sono immersi.

Una melagrana sviluppa al proprio interno la stessa figura romboidale; non dobbiamo cercarne la causa nella materia.

La causa efficiente potrebbe ritrovarsi nell'anima stessa della pianta oppure deve sussistere un causa materiale, come la necessità di occupare il maggiore luogo possibile: avviene similmente nel baccello che ospita i piselli.

Consideriamo ora gli acini schiacciati nella melagrana, i piselli in un vaso oppure qualsiasi forma globulare di uguale dimensione; ebbene, ci saranno solo due modi di disporsi ordinatamente su un piano orizzontale: o in forma triangolare (B) o quadrangolare (A).



Nel caso quadrangolare (A) ogni globulo sarà circondato da altri quattro , mentre nel caso triangolare (B) da sei.

Ora se procediamo a disporre altri globuli a partire da questo piano, fino ad ottenere una struttura solida, vedremo che nel caso quadrangolare (A) ogni globulo appoggerà o sopra ad un altro globulo (A1) oppure si depositerà fra quattro globuli (A2) dell'ordine inferiore.

Nel caso (A1) ogni globulo sarà a contatto con sei globuli: quattro dello stesso piano, uno del piano inferiore e uno del superiore; se vi sarà compressione assumeranno una forma cubica.

Nel caso A2 ogni globulo sarà a contatto con dodici globuli: quattro del piano inferiore, quattro del suo proprio e quattro del piano superiore; con la compressione assumeranno una forma rombica.

In questo caso la densità sarà massima.

Nel caso triangolare (B) ogni globulo sarà a contatto o con un unico globulo (B1) o si depositerà fra tre globuli del piano inferiore (B2).

Procedendo similmente al caso quadrangolare, nel primo caso (B1) ogni globulo verrà a contatto con altri 8 globuli che, se compressi, assumeranno la forma di colonne con sei lati quadrangolari e due basi esagonali.

Nel secondo caso (B2) ogni globulo sarà a contatto con dodici globuli: tre nel piano inferiore, sei del proprio piano e tre del piano superiore; se compressi assumeranno una forma rombica, esattamente come nel secondo caso quadrangolare.

Tuttavia ciò che si osserva nella melagrana o nei piselli non è ciò che si attua negli alveari, dove la ragione sembra essere diversa.

Le api non si ammucchiano come gli acini nella melagrana, ma si distribuiscono a formare una struttura ad alveoli che loro stesse costruiscono.

La causa materiale, la cera, non ha alcun ruolo.

Dobbiamo allora chiederci quale è il fine di ogni ape, che non proviene da sé ma da Dio stesso e cioè quale fine aveva in mente Dio quando ha previsto queste leggi all'architettura che poi le api hanno creato.

Per fare questo dobbiamo considerare i corpi delle api e la materia che producono.

Si possono dire tre cose.

La prima riguarda la struttura esagonale: tra le figure triangolari, quadrangolari ed esagonali, solo quest'ultima riempie completamente un luogo e le api hanno bisogno della massima capacità disponibile per immagazzinare il miele.

Se questa ragione la proiettiamo nello spazio, allora possiamo considerare le forme cubiche e rombiche: i romboidi hanno una capienza più grande dei cubi. Questo potrebbe essere l'altro motivo.

Ma se così fosse, perchè allora non costruire celle rotonde? Che bisogno c'è di colmare ogni piccolo luogo saturando quasi tutto lo spazio rimanente?

Probabilmente vi è un'altra ragione legata al corpicciolo delle api che preferiscono le celle con più angoli rispetto a quelle cubiche o rotonde.

Quanto riportato è sufficiente: non è più tempo di filosofeggiare sulla perfezione o bellezza o nobiltà della figura rombica.

Stessa riflessione per gli acini della melagrana: anche in questo caso non è necessario andare oltre la necessità materiale.


Ma perché i fiori degli alberi si manifestano sempre in forma pentagonale?

Due sono i corpi regolari, dodecaedro e icosaedro: quello esprime figure pentagonali, questo presenta triangoli che si distribuiscono a gruppi di cinque.

Questa perfetta struttura è possibile perché manifesta la divina proporzione, quella che si ottiene dividendo due termini consecutivi della successione che, partendo da 1, aggiunge sempre il termine precedente.

Così: 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5...

Similmente nei fiori si esprime la facoltà seminale delle piante, il cui vessillo è appunto il pentagono.


Tutto quanto abbiamo scritto ci è utile per comprendere la figura del fiocco di neve.

Tra le cause esterne che possono determinare la forma del fiocco vi è da considerare il freddo che provocando la condensazione del vapore potrebbe essere causa della figura stellata.

Ma se teniamo a mente quanto detto in precedenza dovremmo attenderci che la forma determinata dalla condensazione del vapore sia quella globosa, oppure su superficie piana, dovrebbe dare vita a striature brinate, come spesso avviene sui vetri delle finestre.

Ma ancora nulla è chiaro: perché sei raggi? Donde proviene questo numero sei? Cosa determina il nucleo iniziale che poi si sviluppa in sei direzioni?

La causa esterna, cioè il freddo, non può determinarlo; è necessario indagare una causa interna.

Perché i raggi non si distribuiscono perpendicolarmente in ogni ambito sferico? Se il calore interno ne è la causa, perché si distribuiscono solo su una superficie piana, dato che il calore si propaga in modo uniforme?

Ho anche osservato che non sempre i fiocchi assumono la loro forma appena raggiungono la superficie piana, ma sembra che l'appiattimento avvenga solo in un secondo momento.

Il ragionamento, come padre, e l'esperienza, come madre, mi portano ad una considerazione da nulla, e cioè che le stelle di neve, mentre cadono, sono formati da tre diametri villosi, trasversali in un punto, con le sei estremità distribuite in modo uniforme all'interno di una sfera, toccano terra con il diametro perpendicolare, mentre gli altri due rimangono sospesi e poi flettono, ammassandosi, sul piano.

Proverò a seguire questa opinione anche se la ritengo poco probabile, una spiegazione da nulla, ma lo farò per verificarne le conseguenze.

Quindi, quale può essere la causa di questi sei raggi?

Se la causa fosse il freddo, allora dobbiamo riflettere sul fatto che questo avvolge uniformemente ogni singola particella di vapore; se invece la causa fosse interna, cioè il calore, questa dovrà comunque agire dallo stesso, unico centro, verso ogni direzione.

Perché si irradiano non cinque o sette, ma sei raggi?

Se si chiedesse ad un matematico quale forma si configurerebbe nel caso di tre diametri, fra loro perpendicolari, congiungendo i vertici opposti, questo risponderebbe che la forma generata sarebbe un ottaedro.

Possiamo allora rispondere che la causa è una sola: la necessità materiale.

Ma è un percorso che porterà a più domande di quelle a cui è chiamato a rispondere.

Lo dirò lo stesso, perché a volte dal confronto di molti errori si genera la verità.

Supponiamo che il vapore, quando venga a contatto con il freddo, condensi in piccole sfere e che queste si dispongano per esempio in uno schema quadrangolare nel piano e cubico nel solido, come abbiamo visto sopra, e che ogni singola sfera sia a contatto con altre sei sfere: quattro nello stesso piano, una in quello inferiore e una in quello superiore.

Quando il freddo irromperà negli spazi vuoti tra le sfere, queste saranno protette lungo i loro diametri e qui avverrà la condensazione.

Ma perché le sfere dovrebbero disporsi lungo linee rette?

Se la materia non consentisse altre possibilità il nostro indagare sarebbe terminato; ma noi sappiamo che vi sono altre due modalità di disposizione e tutte e tre queste modalità potrebbero mescolarsi tra loro originando altri modi.

Forse la presenza dei tre diametri è frutto del caso? Se così fosse non avremmo tanta regolarità. Forse perché i tre diametri rappresentano le dimensioni degli esseri animati? Ma questo architetto degli esseri animati dovrebbe allora agire anche per le stelle di neve: ma a quale fine? Cosa hanno in comune animali e neve?


Pertanto, dopo avere esaminato tutto quanto sovraesposto "sentenzio" che la causa della figura esagonale del fiocco di neve non è altro che quella delle forme regolari e delle costanti numeriche come quelle presenti nelle piante.

Questo fu il principio creatore che la natura conserva per facoltà mirabile.

Questa facultas formatrix si trova all'interno del pianeta Terra e il vapore è il veicolo che la manifesta, così come il respiro compie con lo spirito umano.


Segnalo due possibili obiezioni.

Nelle piante è presente un fine, costitutivo di alcuni corpi naturali, fine che non sembra esserci per le forme esagonali dei fiocchi. Questa facoltà formatrice non agisce sempre con un fine, a volte l'unico fine presente è la bellezza.

Altra obiezione: ogni singola pianta ha un proprio principio che la anima; sarebbe ridicolo pensare che ogni stella di neve ne abbia uno specifico.

Rispondo che la somiglianza tra piante e stelle di neve è maggiore di quanto si possa credere.

Anche se ogni singola pianta ha la propria facoltà formatrice, queste derivano tutte da un'unica facoltà universale che è propria della Terra.

Finora ho parlato della causa delle forme, resta ora da dire sulla forma stessa: se cioè è conseguente alla presenza dei tre assi perpendicolari o se invece, sino dall'origine, è esagonale.

Nel primo caso ne consegue una struttura ottaedrica con sei vertici; ma perché non una struttura cubica con otto vertici?

I mineralogisti osservano forme perfettissime ottaedriche nei diamanti; questa facoltà animatrice che nel profondo della Terra genera i diamanti, veicolata in superficie dal vapore, può generare la stessa struttura ottaedrica nei fiocchi di neve.

Ma fin dove sono stato trascinato da uno sciocco ragionamento, il quale, mentre aspiravo a donarti quasi nulla, sono giunto a concludere che l'anima formatrice del globo terrestre che si attua nei più minuti corpi animati come in quelli più grandi, ora la ritrovo anche nell'atomo di neve?

Mentre ripeto queste cose ha ripreso a nevicare e più spesso di prima.

Ho contemplato attentamente i fiocchi di neve: sono di due generi.

La maggiore parte di questi sono semplici, senza villi e senza striature, e sottilissimi; raccolti al centro in modo da formare globuli abbastanza grandi. Quelli di secondo genere sono più rari, di forma stellare esagonale; un settimo raggio, allungato verso il basso, quasi fosse un'altra radice, sembra essere la punta sulla quale si sostengono i fiocchi.

Quindi, quanto ho detto fino qui, è tanto vicino al Nulla, quanto ciò a proposito del quale ho riferito.


Perché allora esagonale?

Illustro cinque possibili cause.

La proprietà esclusiva dell'esagono si basa esclusivamente sull'osservazione della non idoneità di questa figura a costituire un corpo solido.

Forse perché questa figura ricopre perfettamente il piano, senza lasciare interstizi vuoti?

Forse perché tra le figure che ricoprono il piano, l'esagono è quella che più si avvicina al cerchio?

Forse perché la figura esagonale non la si ritrova nei fiori e frutti degli alberi, né nelle erbe? E questo fatto è sicuramente molto discriminante.

Oppure è la stessa facoltà formatrice a possedere in sé la forma esagonale?


Forse a questo punto meglio rivolgersi ai chimici e attenderci da loro qualche conoscenza in più sulla natura della materia.

Lascio a te Uomo intelligente, ascoltare e manifestare la tua opinione in merito.


Dopo Keplero è stato Cartesio ad interessarsi ai cristalli di neve, parlandone all'interno del Discours de la methode (Leida, 1637).


Da notare la figura F, dove per la prima volta vengono riportati i fiocchi di neve incolonnati


In tempi più recenti, Kenneth G. Libbrecht, professore di fisica al California Institute of Technology (Caltech), ha studiato forma, composizione, struttura del cristallo di neve.

Per chi fosse interessato ad un approfondimento segnalo il suo sito web, ricchissimo di immagini spettacolari: http://www.snowcrystals.com



Congettura di Keplero relativa all'impaccamento di sfere

Si immagini di riempire un contenitore con piccole sfere, tutte della stessa dimensione. La densità dell'impacchettamento è la percentuale di volume del contenitore che viene occupata dalle sfere. Per massimizzare il numero di sfere nel contenitore è necessario trovare un modo di sistemare le sfere che possieda la densità massima, in modo tale che le sfere vengano impacchettate il più vicino possibile una all'altra.

Mediante prove sperimentali si è visto che, se si fanno cadere le sfere casualmente all'interno del contenitore, si ottiene una densità intorno al 65%.

Si può però ottenere una densità maggiore cercando di sistemare le sfere accuratamente nel modo seguente. Si inizia con uno strato di sfere disposte secondo una griglia esagonale, poi si mette un nuovo strato di sfere nei punti più bassi che si possono trovare sopra al primo strato, e così via. Questo metodo naturale di impilare le sfere crea uno dei due impacchettamenti simili chiamati impacchettamento cubico e impacchettamento esagonale.

Questi due metodi hanno entrambi una densità media uguale a 74%.

La congettura di Keplero afferma che non si può fare di meglio: nessun altro impacchettamento di sfere può avere una densità superiore (fonte Wikipedia).





Bibliografia


Strena seu de nive sexangula 1611, Johannes Kepler The Perfect Library, 2021

(traduzione dal latino di Claudio Carabelli)


Discorso sul metodo (Le meteore) 1637, René Descartes Classici UTET, 1983


Neve, Maxence Fermine Bompiani, 2018

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