• Claudio Carabelli

Fai un luogo di meraviglia





Disegno ottenuto con l'app PaintBrush per un progetto da realizzare nell'Atelier digitale dell'Istituto, relativo a Matematica e Arte.


"Della chimica dei suoi tempi e della sua generazione, Kant proclamò che essa era una scienza, ma non Scienza, perché il criterio che distingue una vera scienza sta nelle sue relazioni con la matematica".


Così nell'introduzione del suo capolavoro, Crescita e forma (pubblicato nel 1917) scrive D'Arcy W. Thompson, biologo e matematico scozzese, sottolineando che la caratteristica più evidente del saggio vada ricercata nel metodo: analizzare i processi biologici partendo dai loro aspetti matematici e fisici.




Quando Gulliver giunse nel paese di Lilliput, accadde che:

"I matematici di Sua Maestà, avendo scoperto che la statura di Gulliver eccedeva la loro nella proporzione di dodici a uno, e considerando che i loro corpi erano simili al suo, inferirono che doveva contenere 1728 [12^3] corpi loro e aver bisogno, per conseguenza, di altrettanto cibo quanto bastasse a nutrire il predetto numero di lillipuziani".


"Feci allora un gesto per indicare che volevo bere. Dal mio modo di mangiare avevano capito che una piccola quantità non mi sarebbe bastata; ed essendo un popolo ingegnosissimo, con molta abilità issarono una delle loro botti più grandi, la fecero rotolare verso la mia mano e la scoperchiarono in alto; io bevvi tutto in un solo sorso, cosa che potevo ben fare poiché conteneva appena una mezza pinta e aveva il gusto di un leggero vino di Borgogna, ma assai più squisito.”


La proporzione era giusta perché 1728 mezze pinte equivalgono a 108 galloni, che fanno una botte!

J. Swift autore dei Viaggi ci conferma di sapere che ogni nostra concezione di forma e di crescita deve essere riferita a termini di grandezza e direzione.


"E' lo stesso Archimede che ci insegna come in figure simili la superficie cresce in proporzione al quadrato e il volume al cubo, delle dimensioni lineari:

S...L^2

V...L^3

e ancora

S=kL^2

V=k'L^3

dove S=superficie, L=lunghezza, k e k' sono coefficienti di proporzionalità.

Da questi principi derivano alcune conseguenze: per esempio un pesce quando raddoppia la propria lunghezza, moltiplica il suo peso per circa otto volte e invece lo raddoppia quando accresce la sua lunghezza di circa un quinto.

Ancora: se si riesce a determinare k nella formula P=kL^3, questo ci permette di trasformare una dimensione nell'altra, di valutare il suo peso con una misurazione della sua lunghezza, a condizione che l'animale non abbia in alcun modo variato la sua forma.

Io ho considerato questo libro uno studio della crescita e forma perché negli esempi più comuni e noti di forma organizzata questi due fattori sono indissolubilmente associati e pertanto è giustificato pensare alla forma come a una conseguenza diretta della crescita".

D'Arcy Wentworth Thompson


Galileo è stato il primo ad avere affrontato questo problema chiamato il principio di similitudine: aveva scoperto che una trave appoggiata a due sostegni flette verso il basso per effetto del suo steso peso. La flessione è proporzionale al quadrato della lunghezza. Per esempio confrontando un fiammifero lungo 5 cm e un'asta di 180 cm (36 volte più lunga), in tutto simile al fiammifero, l'asta si piegherà per il proprio peso circa 1300 volte più del fiammifero.

Asta e fiammifero si comportano allo stesso modo solo se l'asta è in proporzione più spessa oppure è cava come una canna.

Galileo intuì che ciò vale anche per le lunghe ossa di un arto.


Discorsi e dimostrazioni matematiche 1638, Galileo Galilei


Per questo motivo in natura non è possibile l'accrescimento di un animale mantenendo immutate le proporzioni degli animali più piccoli: man mano che la grandezza di un animale aumenta, gli arti tendono a divenire in proporzione più grossi e corti e l'intero scheletro più robusto e pesante.


Gli esseri viventi che si sono evoluti sul nostro pianeta, hanno subito tutte le limitazioni imposte dalle leggi fisiche, ma contemporaneamente ne hanno sfruttato tutti i vantaggi.


Il saggio di Thompson sembra suggerirci che solo le forze fisiche siano in grado di originare la struttura degli organismi, non fa riferimento all'azione dei geni sul processo di sviluppo (The theory of the gene di Thomas Morgan è del 1928, ma di geni e del loro ruolo se ne parlava già da alcuni anni) e neppure agli studi di biochimica.

Tuttavia il valore storico scientifico di Crescita e forma è reale e indiscusso.


In mio possesso è l'edizione di Universale Bollati Boringhieri, del 1992: rispetto all'originale sono state eliminate molte parti, ma non il capitolo dedicato alla "Teoria delle trasformazioni, analisi comparata delle forme affini", capitolo che fa uso sistematico dei diagrammi cartesiani (veri e propri luoghi di meraviglia per la mente) e al quale faccio riferimento per questo articolo.


Il compito della morfologia, termine proposto da Goethe, non è tanto quella di descrivere singoli casi, quanto quello di confrontarli.

Questo procedimento di comparazione (ricordate l'anatomia comparata utilizzata da Cuvier per confrontare gli organismi fossili con quelli contemporanei?), che ci conduce al riconoscimento di una forma come dovuta alla variazione o deformazione di un'altra, rientra a pieno titolo nel metodo matematico: non si tratta di definire la forma di un cranio, di un crostaceo o di un pesce con una equazione matematica, ma il linguaggio matematico può essere usato per descrivere per esempio la forma di una conchiglia, il profilo di una foglia o l'elica di un corno.


Crostacei



Oithona nana e genere Sapphirina


Oithona nana, un Copepoda (Crostaceo) è stato inserito in un sistema di coordinate ortogonali (realizzato sempre con GeoGebra 5) con ascisse che sono i 3/5 delle ordinate.




Sopra un Copepoda molto diverso, del genere Sapphirina: intorno ad esso è tracciata una rete di linee, in modo che ogni coordinata passi per punti corrispondenti a quelli della figura precedente.

Si nota che i valori di Y di questo secondo diagramma sono grandi nella parte superiore e diminuiscono rapidamente avvicinandosi alla base; i valori di X sono molto grandi in prossimità dell'origine ma diminuiscono rapidamente quando si allontanano da essa, da entrambe le parti.

Se invece di cercare una equazione che ne rappresenti l'immagine, si definisce una tabella, si ottiene la rete di coordinate che consente di "trasformare" Oithona in Sapphirina.


x (Oithona) 0 3 6 9 12 15

x' (Sapphirina) 0 8 10 12 13 14

y (Oithona) 0 5 10 15 20 25 30

y' (Sapphirina) 0 2 7 13 23 32 40



Pesci


Argyropelecus offersi e Sternoptys diafana

Tra i pesci scopriamo una grande varietà di trasformazioni, alcune semplici, altre notevoli e insospettabili.

Un caso relativamente semplice, che richiede solamente scorrimenti, è illustrato dalla animazione sopra riportata, ottenuta sempre con GeoGebra 5.

Ringrazio Hans W. Hofmann, Mathmagic e Simona Riva per i suggerimenti e l'aiuto ricevuto dal forum di GeoGebra, senza i quali non sarebbe stato possibile per me realizzare questo file.

Il file immagine di partenza rappresenta in coordinate cartesiane un piccolo pesce oceanico, l'Argyropelecus offersi.

Il file immagine derivato rappresenta esattamente lo stesso profilo, trasferito ad un sistema di coordinate oblique con assi inclinati di 70 gradi: ma questo è un profilo molto simile a quello di un altro pesce di un genere diverso, che ha nome Sternoptys diafana!


Diodon (pesce istrice) e Orthagoriscus mola (pesce luna)


Il file immagine seguente è riferito ad un pesce comune: il Diodon.



Nel file successivo si è fatto ricorso a una griglia polare, nella quale le coordinate sono state deformate in cerchi concentrici.

Il vecchio profilo, trasferito nella nuova griglia, ci appare come una rappresentazione del pesce-luna (Orthagoriscus mola).

D'Arcy Thompson scrive che questo è un caso molto istruttivo di deformazione (anche se in realtà nella sua deformazione fa uso di coordinate orizzontali che non sono cerchi concentrici, ma un sistema di iperboli): "... è vero che dal punto di vista matematico non è una deformazione perfettamente soddisfacente o regolare, perché il sistema non è più isogone, ma tuttavia appare simmetrico all'occhio e, sotto certe condizioni di attrito o di ostacoli materiali, s'avvicina a un sistema isogonale. Esso ci spiega, con una sola trasformazione complessiva, tutte le apparentemente separate e distinte differenze esterne tra i due pesci.

In una parola la trasformazione è sufficiente a spiegare il nuovo contorno in tutti i suoi essenziali dettagli: il corpo arrotondato, l'esagerazione delle pinne ventrali e dorsali, la coda tronca".


Decine di altri esempi corredano le argomentazioni di Thompson che conclude Crescita e forma con la seguente frase:

"...per quanto il nostro soggetto sia interessante ora dobbiamo abbandonarlo, riconoscendo tuttavia che, se le difficoltà di descrizione e di rappresentazione si potranno superare, queste coordinate spaziali ci daranno finalmente un ritratto adeguato e soddisfacente dei processi di deformazione e delle direzioni di crescita".


Insomma Thompson ci ha portato oltre la statica attività descrittiva, dando un contributo originale allo sviluppo della odierna morfologia sperimentale.

Sorriderebbe oggi nel prendere atto fino a dove si è spinta l'applicazione di strumenti matematici allo studio dei processi biologici.

Nell'aprile del 1953 James Watson e Francis Crick pubblicarono su Nature un articolo relativo al modello della struttura a doppia elica del DNA.

Due anni fa, nel 2019, sulla rivista scientifica ACS Nano alcuni ricercatori del MIT di Boston hanno pubblicato uno studio che rivela l'inaspettato contributo della musica (e quindi dell'analisi matematica) a decifrare la struttura delle proteine!

I ricercatori hanno sviluppato un algoritmo per la conversione in toni dei 20 componenti fondamentali delle proteine, gli amminoacidi, sfruttando le caratteristiche fisiche di queste molecole e, in particolare, la loro chimica quantistica: in pratica ogni frammento di materia è un insieme di vibrazioni e si può sfruttare questo stato quantistico come un modo per descrivere la materia, attraverso la trascrizione musicale che porta queste frequenze a diventare suoni udibili dall'orecchio umano.

Si apre una nuova e feconda strada...


Il sistema può essere usato anche come base creativa, per comporre suoni derivati direttamente dalla biologia.

Il professore di musica e amico Andrea Noce ci spiega come funziona una specifica app chiamata Amino Acid Synthesizer, sviluppata dagli autori.


L’app “Amino Acid Synth” nella sua schermata “Keyboard” ha venti pulsanti quadrati e colorati che corrispondono ciascuno ai venti amminoacidi ordinari. Questi pulsanti servono ad emettere dei suoni che sono stati sintetizzati a partire dalle loro caratteristiche costitutive e riportati ad un range di frequenze udibili all’orecchio umano. Nella parte bassa i tasti “Slower” e “Faster” servono a diminuire o aumentare rispettivamente la velocità generale di esecuzione del brano. Infatti quando si clicca su uno dei pulsanti colorati, il suono viene inserito in una sequenza che può essere riprodotta cliccando sul tasto “Play”. Le diverse durate tra le varie note possono essere ottenute agendo sul tasto “Space” che distanzia una nota dall’altra in base alle esigenze. In pratica, una nota più uno spazio danno vita ad una pulsazione. Se vogliamo far suonare quattro note con la stessa pulsazione dobbiamo suonare un suono e aggiungere uno spazio e ripetere la procedura per altre tre volte:

Es: ALA+space / ALA+ space / ALA+space / ALA+space

Otterremo la seguente scansione ritmica:


Se invece suoniamo tutto attaccato per quattro volte otterremo la seguente scansione ritmica:

Ovviamente, utilizzando i tasti "Slower" e "Faster" possiamo cambiare la velocità e cambiando la figura musicale riferita alla pulsazione principale possiamo creare infinite combinazioni.


Bibliografia


Crescita e forma, 1992 D'Arcy W. Thompson Universale Bollati Boringhieri


I viaggi di Gulliver, 2000 Jonathan Swift Oscar Mondadori


The theory of the gene, 1928 Thomas Morgan Yale University Press


Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica ed i movimenti locali, 1990 Galileo Galilei Giulio Einaudi Editore


DNA 50 anni dopo, 2003 Autori vari Le Scienze dossier


https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Darcy/darcy/


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