"Il calcolo infinitesimale, come altre forme della matematica, è molto di più di un linguaggio: è un modo di ragionare incredibilmente potente".
Steven Strogatz
Nel suo trattato Quadratura della parabola, Archimede, per il quale una vera parabola è una curva ottenuta secando un cono con un piano, approfondì la conoscenza delle curve, guidato dal principio dell'infinito.
Archimede si prefiggeva il compito di risolvere la quadratura di un segmento parabolico, la regione curva delimitata dalla parabola e da una linea che la taglia obliquamente.
Trovare la quadratura di una figura significa esprimerne l'area in funzione dell'area nota di una figura più semplice.
La strategia adoperata da Archimede era sorprendente: ripensare il segmento parabolico come una serie infinita di frammenti triangolari, incollati come i cocci di una ceramica rotta.
Per calcolare l'area di tutti i cocci, Archimede ebbe l'idea di trascinare verso l'alto la linea obliqua alla base del segmento, mantenendola parallela a se stessa, fino a toccare la parabola nel punto di tangenza, punto che costituisce il terzo vertice del triangolo.
Procedendo allo stesso modo, i due lati del triangolo di partenza diventano le basi per costruire i due successivi triangoli.
Applicando concetti geometrici già noti sulle parabole e sui triangoli, Archimede dimostrò che ogni nuovo triangolo aveva un'area pari a un ottavo del suo triangolo "genitore".
Se il primo triangolo ha un'area pari a 1 unità, allora i due triangoli "figli" occuperanno insieme:
1/8 + 1/8 = 1/4
Ad ogni passaggio successivo vale la stessa regola: nel complesso, l'area dei triangoli "figli" vale 1/4 di quella dei "genitori".
1/64 + 1/64 + 1/64 + 1/64 = 1/16
Quindi l'area totale del segmento parabolico sarà:
Area = 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...
Ovvero una serie infinita dove ciascun termine è un quarto del precedente.
Per sommare questa serie geometrica ricorriamo ad un trucco: moltiplichiamo sia destra che a sinistra per 4.
4 x Area = 4 x (1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...)
= 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ...
4 x Area = 4 + Area
Sottraendo Area avremo:
3 x Area = 4
Ovvero:
Area = 4/3
L'area del segmento parabolico equivale a 4/3 dell'area del primo triangolo!
Archimede però giunse allo stesso risultato facendo uso di un'altra argomentazione: la doppia reductio ad absurdum, ovvero mostrando che l'area del segmento parabolico non poteva essere né minore né maggiore di 4/3 e perciò doveva essere 4/3.
Ecco il suo ragionamento tradotto con un esempio quotidiano.
Immaginiamo tre persone che vogliano dividere quattro identiche fette di una torta.
Il buonsenso vorrebbe che ognuno si prenda una fetta e quella rimanente venga divisa in tre: tutti avrebbero 1 + 1/3 = 4/3 di torta.
Ma supponiamo che i tre amici siano matematici.
Uno di loro potrebbe suggerire che ognuno di loro si prenda una fetta e che l'ultima sia suddivisa ancora in quattro parti e ciascuno ne prenderà un quarto.
Quante fette di torta mangerebbe ciascuno dei tre amici se il processo continuasse in modo indefinito?
Ciascuno mangerebbe:
1 fetta + 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... di torta e dal momento che questa quantità deve rappresentare un terzo della quattro fette iniziali, tale somma deve essere uguale a un terzo di 4, cioè 4/3!
Archimede propose un argomento molto simile a questo, che comprendeva anche uno schema di quadrati con dimensioni diverse.
La sua osservazione centrale era che il minuscolo quadratino in alto a destra, ovvero l'ultimo avanzo da condividere, poteva essere rimpicciolito a piacere con un numero di ripetizioni sufficientemente grande, ma finito.
L'unica risposta possibile era quindi che tale somma fosse 4/3!
Il Metodo
"E' infatti più agevole elaborare una dimostrazione di quanto ricercato, una volta che siano poste delle linee guida per mezzo della procedura (il Metodo), piuttosto che mettersi a ricercare senza alcuna linea guida".
Quanto riportato sopra è parte di una lettera indirizzata da Archimede all'amico Eratostene, matematico e bibliotecario di Alessandria.
In altre parole: il ruolo dell'intuizione e della immaginazione per il matematico è essenziale.
Il primo riferimento al Metodo compare all'inizio del Trattato sulla quadratura della parabola.
Archimede confessa che è stato il Metodo a suggerirgli la dimostrazione e il numero 4/3.
Per il matematico siracusano il Metodo è "prassi" meccanica: giunge all'area del segmento parabolico immaginando di pesarlo: considera la regione parabolica come un oggetto materiale da pesare su uno dei due piatti di una bilancia (legge della leva).
Poi trova il modo di bilanciarlo con una figura di cui conosce già il peso: un triangolo.
Partendo dal segmento parabolico Archimede, traslando la base parallelamente a sé stessa, individua il punto di tangenza D con la parabola e disegna il triangolo più grande all'interno del segmento stesso: l'area del triangolo BCD verrà confrontata con l'area del segmento parabolico.
Ora il segmento parabolico viene racchiuso dal triangolo più grande BCE, i cui lati sono un segmento tangente alla parabola in C (lato destro), il segmento BC di base e un segmento verticale che parte da B e incontra il lato destro nel punto E.
L'area del triangolo BCE è quattro volte più grande di quello interno BCD (vedi dimostrazione 1 in basso).
Ora Archimede costruisce la leva che sarà il segmento che unisce le due sedute (piatti): parte da C, attraversa D, interseca in F (fulcro e punto medio di SC) il triangolo esterno BCE e continua verso sinistra fino al punto S (altra seduta o piatto).
Ora ecco l'idea sbalorditiva del genio: Archimede dimostra di potere bilanciare il triangolo esterno con il segmento parabolico, considerandoli entrambi come costituiti da infinite linee verticali parallele (stecche infinitamente sottili)!
Consideriamo per esempio la linea o stecca corta JH, che connette la base del segmento parabolico con la parabola stessa, e la linea più lunga JL che connette la base al lato superiore del triangolo.
L'intuizione è che queste linee o stecche si bilanciano perfettamente fra loro, come bambini ai due lati di una altalena, a patto di trovarsi nel punto giusto.
Archimede dimostra che sono in equilibrio quando la stecca corta scivola verso il punto S, lasciando quella lunga al suo posto.
lo stesso vale per qualsiasi linea verticale.
https://www.isrosselliaprilia.edu.it/sites/default/files/page/2015/quadratura-meccanica-parabola.pdf
Tutte le linee o stecche della parabola finiscono su S e insieme bilanciano quelle del triangolo BCE.
A seguire Archimede sostituisce alle infinite stecche del triangolo esterno un punto equivalente che le rappresenta, detto centro di gravità del triangolo: il triangolo agisce sull'altalena come se l'intera sua massa fosse concentrata in questo centro di gravità che giace sul segmento CF, esattamente tre volte più vicino al fulcro rispetto al punto S.
Come conseguenza, il segmento parabolico deve pesare 1/3 del triangolo: è la legge della leva!
E poiché il triangolo esterno è quattro volte il triangolo interno BCD, Archimede deduce che l'area del segmento parabolico deve essere 4/3 dell'area del triangolo interno!
Questa argomentazione rappresenta l'inizio del calcolo integrale.
Affrontare una curva significa affrontare l'infinito.
Dimostrazione 1
Consideriamo il punto E, punto medio di AB, base del triangolo ABC e siano C e D i punti di intersezione dell'asse della parabola passante per E, rispettivamente con la parabola e la tangente ad essa per B.
Dalla similitudine dei triangoli BAF e EBD (e da: dato un segmento parabolico, se conduciamo per il punto medio E della base AB la parallela all'asse, che interseca la parabola in C, e chiamiamo D l'intersezione tra la retta EC e la tangente alla parabola in uno degli estremi della base, allora EC=CD), segue che l'area del triangolo ABF è doppia di quella del triangolo ABG.
Infatti: la base dei triangoli è la stessa, mentre l'altezza di uno è doppia di quella dell'altro. Dalla similitudine dei triangoli ABG e EBC si deduce che l'area di ABG è a sua volta doppia di quella di ABC (ABG ha base e altezza doppia di EBC).
In definitiva, il triangolo ABF ha area quadrupla di quella di ABC e dunque l'area del segmento parabolico è quattro terzi quella del triangolo ABC.
Dall'intuizione di Archimede e con il contributo di altri giganti del pensiero matematico, come Newton e Leibniz, il calcolo infinitesimale si è arricchito nei secoli con derivate, integrali, equazioni differenziali lineari e non lineari.
Oggi, senza questo potente "linguaggio", non avremmo cellulari e computer, forno a microonde, non avremmo decifrato il codice genetico, né portato l'uomo sulla Luna, non avremmo il GPS e i farmaci contro l'HIV (!).
Rimane un mistero, destinato a rimanere senza risposta.
Perchè l'Universo è comprensibile ed è in sintonia con il calcolo infinitesimale?
Bibliografia
Vite dei filosofi Diogene Laerzio 2000 Laterza ed.
Archimede, genio universale Giulio Giorello 2000 Ed. Le Scienze
L'arte della matematica Simone Weil, André Weil 2018 Adelphi
Il teorema del pappagallo Denis Guedj 2000 Longanesi
Storia della matematica Carl B. Boyer 1980 Oscar Mondadori
Il potere dell'infinito Steven Strogatz 2021 Codice EDIZIONI
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