• Claudio Carabelli

Più che il doppiar de li scacchi s'inmilla

Aggiornamento: 23 dic 2020

Scheda storica composta per il sito www.progettofibonacci.it


Il precursore dell’attuale gioco degli scacchi, denominato “chaturanga”, (tradotto letteralmente in “4 divisioni”: fanti, cavalieri, elefanti e carri militari) era conosciuto in India già nel corso del VI secolo (Impero Gupta): si trattava di un gioco di simulazione di una battaglia.

Dall’India il gioco emigrò in Persia e dopo la conquista degli Arabi, che ne tradussero il nome in “shatranj”, si diffuse in Europa.

I giocatori iniziavano la partita gridando “Shah”, in persiano “Re” per dichiararne l’attacco, e la terminavano con “Shah Mat”, “il Re è senza speranza”, da cui deriva il nostro “scacco matto”.



Krishna e Radha giocano a "chaturanga" su una scacchiera (ashtapada)


Secondo una leggenda indiana, l'inventore degli scacchi fu Sissa Nassir, un giovane bramino, che presentò il gioco al Principe.

Con questo gioco Sissa voleva far capire che il successo del comandante deriva dalla giusta armonia tra lui ed i suoi sottoposti, così come il Re degli scacchi per quanto il pezzo più importante, non può che perdere senza l'appoggio dei pedoni e degli altri pezzi. Il Principe fu molto colpito dalla sagacia del gioco, e promise a Sissa qualunque cosa egli avesse richiesto come ricompensa. In premio Sissa chiese un chicco di grano per la prima casella, due per la seconda, quattro per la terza e così via, sempre raddoppiando fino alla sessantaquattresima casella. Sembrava una richiesta modesta, e Sissa fu deriso da molti: avrebbe potuto chiedere molto oro, ma apparentemente si stava accontentando di qualche chilo di riso. Il principe ordinò che la richiesta fosse esaudita ma dopo che i contabili di palazzo calcolarono il numero dei chicchi promessi, la verità venne presto rivelata: si trattava di pagare a Sissa una quantità tale che i raccolti di tutto il mondo non bastavano a soddisfare!



Shams-i-Tabrizi gioca a scacchi con Rumi


Questa leggenda era sicuramente conosciuta ai tempi di Fibonacci, ma l’Autore non ne parla nel XII capitolo del Liber abaci, laddove, dopo aver esposto il famoso problema della discendenza da una coppia di conigli, affronta e risolve proprio il problema della scacchiera.


Fibonacci intitola i’argomento “Sulla duplicazione delle case di una scacchiera ed alcuni altri metodi”.

Questo l’incipit (abbiamo tradotto linea con fila e punctum con casella): “Si propone di duplicare le caselle di una scacchiera in modo duplice, uno dei quali si ottiene con una sequenza di caselle in cui ciascun numero è il doppio del suo antecedente e un altro con una sequenza di caselle con numeri che sono ciascuno la somma di tutti i numeri precedenti…”.


Sopra: Liber abaci nella versione latina di Baldassarre Boncompagni.

Sotto: Liber abaci Cap. XII, manoscritto Pal. 1343


Il problema si riferisce alla somma di una progressione geometrica.

Il numero richiesto si potrebbe ottenere partendo da 1 e raddoppiando ogni volta nelle successive caselle: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 e così via fino alla sessantaquattresima casella e infine sommando tutti gli addendi.


Ma Fibonacci non segue questo metodo.

Il nostro, dimostrandosi alquanto geniale, segue un altro metodo.

Ridiamo la parola al matematico: “…l’altro modo si esegue raddoppiando la quantità del primo posto, si ha due, il due si moltiplica per sé, si ha 4; e 4 è più grande di 1 della somma dei primi due posti. Per esempio, nel primo posto poniamo 1, nel secondo 2, che aggiunto al primo fa 3; questo 3 più 1 da il 4 scritto sopra; si moltiplica il 4 per sé stesso, dà 16, che supera di 1 la somma dei doppio dei primi due posti, cioè 4 posti…se ora si moltiplica il 16 per sé stesso si ha 256, che supera di 1 la somma del doppio dei numeri sopra riportati, quindi dei primi 8 posti, cioè la prima fila della scacchiera”.


1+2+4+8+16+32+64+128 = 255 (ossia 2^8 – 1)


In generale

1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^n = (1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^n)(2-1) = (2 + 2^2+ 2^3+ ... + 2^n+1) – (1+ 2 + 2^2+ 2^3+ ... + 2^n) = 2^n+1 -1


Prosegue Fibonacci: “…quindi, 256 moltiplicato per sé stesso fa 65 536, che è di 1 più grande della somma delle potenze nel doppio di un’unica fila, vale a dire nei primi 16 posti; quindi, per lo stesso motivo, si moltiplica il 65 536 per sé stesso, ottenendo 4 294 967 296, che similmente è di 1 più grande della somma delle potenze nel doppio di due file, ossia su 32 posti, che costituiscono la metà della scacchiera. Infine, moltiplicando il 4 294 967 296 per sé, si ottiene 18 446 744 073 709 551 616 che è di 1 più grande della somma delle potenze dell’intera scacchiera”.


Ricapitolando (ad uso didattico):


1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^7 = 255 = 2^8 – 1 (la somma dei numeri sulla prima fila)


2^8 x 2^8 = 256 x 256 = 65 536 = 2^16 quindi

65 535 = 1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^15 (la somma dei numeri sulla prime due file)


2^16 x 2^16 = 65 536 x 65 536 = 4 294 967 296 = 2^32

4 294 967 295 = 1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^31 (la somma dei numeri sulla prime quattro file)


2^32x 2^32 = 4 294 967 296 x 4 294 967 296 = 18 446 744 073 709 551 616 = 2^64

18 446 744 073 709 551 615 =1+ 2 + 2^2+ 2^3 + ... + 2^63 (la somma dei numeri sulle otto file)


Per calcolare questo numero si sono sommati i numeri sulla prima fila (255) e poi eseguite 3 moltiplicazioni:

256 x 256, 65 536 x 65 536, 4 294 967 296 x 4 294 967 296 e sottratto 1 dall’ultima moltiplicazione!

Invece che trovare la soluzione x direttamente, si è cercato un numero più semplice da calcolare cioè x+1.

Questo ha evitato di eseguire 62 moltiplicazioni 2, 2x2, 2x2x2, ...) e 64 addizioni.


La storia è simile all’aneddoto di Gauss che calcola la somma dei primi 100 numeri.

Il metodo si può utilizzare in tante situazioni analoghe.


Ecco il numero ottenuto che si legge: 18 trilioni 446 biliardi 744 bilioni 73 miliardi 709 milioni cinquecentocinquantuno mila seicentosedici (che è di 1 maggiore della duplicazione di tutta la scacchiera...)!




Fibonacci calcola anche il numero complessivo nel caso di due scacchiere e scrive che con lo stesso metodo si potrebbe proseguire all’infinito.

Il numero è enorme ed è difficile rendersi conto di quale quantità possa rappresentare, tanto è vero che Fibonacci si rende conto che è necessario “spiegare ciò più chiaramente”.

“Immaginiamo che i numeri rappresentino bisanti, la somma di 65 536 (bisanti) riempie un forziere…, la somma di 4 294 967 296 (bisanti) riempie 65 536 forzieri: con questi forzieri riempiamo una casa, allora avremo nel primo posto della quinta fila 2 case, nel secondo 4, nel terzo 8, e quindi, raddoppiando in tal modo, avremo nell’ultimo posto in sesta fila 65 536 case. Con queste case facciamo una città, e continuiamo con il raddoppio nei restanti posti; allora avremo nell'ultima posizione della scacchiera 65 536 città; quindi la somma di tutti i numeri sulla scacchiera ammonta a 65 536 città; ogni città ha 65 536 case, in ogni casa ci sono 65 536 forzieri, e in ogni forziere ci sono 65 536 bisanti. Per effetto della dimostrazione suddetta si deve avere in ogni forziere 1 bisante in meno”.



Fibonacci prosegue ancora immaginando che sulla scacchiera vi siano ora chicchi di grano e chiedendosi quante navi, a determinate condizioni, si potrebbero riempire con la somma finale.



Ancora una volta la conclusione di Fibonacci è emblematica: ”qui navium numerus, quam infinitus, et innumerabilis sit, satis liquido hic deprehenditur” (il numero delle navi è apparentemente innumerabile e quasi infinito, questo potrebbe essere rilevato in modo inequivocabile).


Quasi infinito… questa conclusione rimane sospesa per un secolo, come una piuma sollevata dal vento del pensiero, per poi, in modo del tutto inaspettato, posarsi nella creatività di un poeta-matematico: Dante Alighieri.


Siamo nel Paradiso, canto XXVIII, appena Beatrice ha finito di parlare, dai cerchi angelici di fuoco si sprigionano miriadi di faville, come da una massa di ferro incandescente e rispondendosi da cerchio a cerchio, i cori degli angeli innalzano un inno di gloria.

Faville come angeli, una quantità infinita. Ma se sono già infiniti, che senso ha che ne nascano di nuovi?

Meglio se fossero invece un numero enorme, un numero che la mente umana non potrebbe neanche immaginare; ma non infiniti.


L’incendio suo seguiva ogni scintilla;

ed eran tante, che ‘l numero loro…



Diamo la parola a Bruno D’Amore che così ricostruisce con fantasia, i’argomentazione di Dante.


La gloria di Dio, diceva tra sé e sé (Dante ndr), però, deve essere maggiore di quella di Sissa Nassir. Sissa raddoppiò la sua richiesta di riso di casella in casella, Dio non può dunque solo raddoppiare, deve chiedere di più alla potenza sua; deve fare di più, è come se usassi lo stesso criterio di crescita, ma invece di raddoppiare potrei triplicare, moltiplicare per cento, o… una specie di corto circuito mise in connessione la poesia, la matematica, la teologia, la fantasia:


L’incendio suo seguiva ogni scintilla;

ed eran tante, che ‘l numero loro

più del doppiar de li scacchi s’inmilla.



https://www.liberliber.it/mediateca/audiolibri/a/alighieri/la_divina_commedia/mp3/alighieri_commedia_v_096_par_28.mp3

S’inmilla, certo si! … cosa impedisce a Dio di moltiplicare per 1000, inmillando? 1 sulla prima casella, 1000 sulla seconda, 1 000 000 sulla terza, e così via, un numero divino, non umano, eppure finito.


Da quel fuoco paradisiaco, ogni istante, nascevano 1 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 001 angeli!




Bibliografia e sitografia


Liber abaci Manoscritto Pal.lat. 1343 Biblioteca digitale vaticana

Liber abaci Scritti di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo / pubbl. da Baldassarre Boncompagni ETH-Bibliothek Zürich, Rar 29283: 1

Più che il doppiar de li scacchi s'inmilla Bruno D'Amore, Pitagora Editrice Bologna

La Divina Commedia Paradiso Canto XXVIII Dante Alighieri, La Nuova Italia Editrice Firenze

www.liberliber.it/mediateca

La leggenda di Sissa Nassir è tratta da www.scuoleasso.edu.it












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