Quattro per cinque fa... dodici!

Alice, dopo aver inutilmente tentato di parlare con il Bianco Coniglio, sempre più disorientata, mette alla prova le proprie capacità logiche:

“Devo vedere se conosco ancora le cose che sapevo prima. Dunque: quattro per cinque fa dodici, e quattro per sei fa tredici, e quattro per sette...oh povera me! Non arriverò mai a venti di questo passo!” Alice nel Paese delle Meraviglie, 1862 Charles Lutwidge Dodgson

Per poter interpretare il pensiero di Alice (sempre che abbia un senso) dobbiamo capire in quale sistema di numerazione fa i calcoli.

E’ necessario quindi un gran salto nel passato, dobbiamo tornare nel XVII secolo e riferirci a un genio tedesco, filosofo e matematico: Goffredo Guglielmo Leibniz.

Macchina Crittografica Circolare, 1625/1630 Francesco Stelluti

Biblioteca Apostolica Vaticana

Non c'è limite nell'uso della "ruota", se non quello della pazienza e del talento crittografico personale...

Nel 1676 Leibniz arriva ad Hannover e proprio in questi anni inventa l’aritmetica diadica (oggi, sistema di numerazione a base 2) che consiste nella sostituzione del sistema decimale con la rappresentazione di tutti i numeri mediante le cifre 0 e 1.

Al momento della scoperta Leibniz non sa ancora a cosa potrà servire; la fantasia del suo genio gli fa intravedere un mondo, e glielo fa rappresentare, che sarebbe potuto esistere solo in un lontano futuro.

Oggi la numerazione binaria è alla base dell’elaborazione dati dei calcolatori: questo perché lo 0 e l’1 riflettono idealmente due stati che possono venire generati dalla corrente elettrica (circuito chiuso: 1; circuito aperto: 0). “Invece della progressione di dieci in dieci da alcuni anni io uso la progressione più semplice di tutte, che va di due in due, poiché mi sono accorto che questo sistema porta alla perfezione della scienza dei numeri. Per rappresentare questo sistema adopero come segni numerici solo 0 e 1; e quando arrivo a due, ricomincio da capo. Con questo sistema numerico si possono eseguire tutti i tipi di calcolo".

E’ possibile una strada agevole per trasformare l’espressione decadica di un determinato numero in espressione diadica.

Si tratti del numero 365; si prenda successivamente la metà. Poi la metà della metà e si scriva il resto accanto a questi valori dimezzati. Queste cifre vengono scritte una accanto all’altra in modo che quella che è più in fondo va a finire sull’estrema sinistra.

365 11 0

182 1 5 1

91 0 2 1

45 1 1 0

22 1 1

Cosi 365 diventa 101101101. Secondo un analogo procedimento anche il numero diadico viene trasformato in un numero decadico, addizionando tutte le potenze di 2 espresse nel sistema decadico.

101101101= 1x2^0+0x2+1x2x2+1x2x2x2+0x2x2x2x2+1x2x2x2x2x2+1x2x2x2x2x2x2+0x2x2x2x2x2x2x2+1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 365

Sono possibili fra questi numeri tutte le operazioni.

Questo tipo di calcolo potrebbe essere anche eseguito da una macchina in maniera sicuramente molto semplice e senza spreco di denaro".

A seguire nel testo, Leibniz rivela che:

“La cosa straordinaria in questo calcolo è che questa aritmetica con 0 e con 1, ci fornisce le chiavi per scoprire il mistero di un vecchio re e filosofo cinese, chiamato Fu-hsi, vissuto forse più di quattromila anni fa e che i Cinesi considerano il fondatore del loro regno e delle loro scienze. Gli si attribuiscono molte figure lineari, tra cui quella costituita da 8 trigrammi (kua) che sembra essere fondamentale.

Esse si riallacciano tutte a questa aritmetica... dopo aver notato che una linea intera ---- significa 1 e che una linea spezzata -- -- significa 0.

-- -- ----- -- -- ----- -- -- ----- -- -- -----

-- -- -- -- ----- ----- -- -- -- -- ----- -----

-- -- -- -- -- -- -- -- ----- ----- ----- -----

000 001 010 011 100 101 110 111

0 1 2 3 4 5 6 7

Al momento della scoperta del sistema binario, Leibniz non sapeva a che cosa esso potesse servire.

La struttura dualistica dei trigrammi dovette colpirlo in modo particolare, facendogli perdere di vista che si trattava di una somiglianza puramente esteriore e che il sistema binario, applicato ai kua, veniva sviato dalla sua funzione tipica di sistema numerico.

Come Leibniz giunse a conoscere i trigrammi?

Leibniz era in contatto con Joachim Bouvet, padre gesuita che viveva a Pechino e gli forniva le conoscenze sulla cultura cinese.

La lettura di numerose opere sulla Cina aveva condotto Leibniz ad interessarsi di ogni aspetto della vita e della cultura di questo popolo.

Non bastandogli le notizie che trovava nei libri, cominciò a tenere corrispondenze con vari missionari cattolici conosciuti nei suoi soggiorni a Parigi e a Roma.

E' da padre Bouvet che riceveva le illustrazioni contenenti gli esagrammi (ottenuti accoppiando due trigrammi) di Fu-hsi, dai quali prende inizio il suo tentativo di interpretare questi simboli in termini di numerazione binaria.

Gli otto trigrammi nel contesto della cultura cinese

La scienza cinese si fonda su tre teorie fondamentali: la teoria dei Cinque Elementi, la teoria delle Due Forze e il sistema dei trigrammi.

La teoria dei Cinque Elementi fornisce una spiegazione naturalistica d'ogni cosa, dalla materia inorganica fino alle vicende politiche (constatazione empirica che un elemento cede ad un altro)!

La teoria delle Due Forze si riconnette alle nozioni di Yin e Yang: il primo carattere indica l'oscurità o l'ombra, il secondo la luce. Tutto l'universo è retto dal reciproco equilibrio e dal mutuo derivare di questi due elementi complementari.

I Ching: libro dei mutamenti (sistema dei trigrammi)

Il suo Autore è leggendario, la datazione incerta, l'interpretazione dei simboli estremamente varia: li si ritiene una rappresentazione grafica dei bastoncini corti o lunghi usati anticamente per scopi divinatori.

Nel medioevo si riteneva che questi simboli rispecchiassero in certo modo tutti i processi naturali.

I simboli composti da linee intere (yang) e da linee spezzate (yin) vengono composte in trigrammi, cioè gruppi di tre linee, che comprendono le otto possibili combinazioni delle tre linee intere e spezzate.

Dall'accoppiamento di due trigrammi si ottiene un esagrammo: il numero delle possibili combinazioni sale così a 64.

Ogni kua è seguito da una spiegazione e da un giudizio.

I kua hanno una parte di rilievo nei testi alchimistici e in quelli di medicina.

In un testo persiano del 1300 d.C. troviamo gli otto trigrammi disposti in cerchio attorno al giorno e alla notte del paziente. Dalla loro posizione si trovano indicazioni sull'aumento o sulla diminuzione della febbre.

Per Leibniz il poter spiegare "la caratteristica segreta e sacra" degli esagrammi dovrebbe trasformare questa simbologia in un "linguaggio caratteristico della classe suprema dei sapienti più illuminati, fino a meritare corpi e collegi speciali".

Questa comunità dedita al culto di una simbologia complessa ed astrattissima è descritta nel romanzo di Hermann Hesse intitolato Il giuoco delle perle di vetro.

Hesse proviene da una famiglia di orientalisti e Il libro dei mutamenti ha una funzione centrale nel libro.

Probabilmente il romanzo è il modo in cui il protagonista prende coscienza dei propri limiti (vacuità della vita) e tenta di superarli.

Museo Hermann Hesse, Montagnola (CH)

A questo punto possiamo tornare ad Alice e cercare di capire se c’è una logica nella frase: 4x5 = 20 base 10 ma se contiamo in base 18 allora: 20 = 12 (18) 4x6 = 24 base 10 se aggiungiamo 3 alla base precedente e si conta in base 21 allora: 24 = 13 (21) Prova tu a verificare perché con questa logica Alice non arriverà mai a 20!

Bibliografia

De progressione dyadica (Calcolo con zero e uno), 1679 Goffredo Guglielmo Leibniz

Il giuoco delle perle di vetro, 1943 Hermann Hesse

Alice nel Paese delle Meraviglie, 1862 Charles Lutwidge Dodgson, Carolus Ludovicus, Lewis Carrol